Піхорович Василь Дмитрович

Тема 6. Умовивід

Загальна характеристика умовиводу

Міркування, побудовані в формі складних суджень, порівняно рідко зустрічаються в природній мові. Вони характерні більше для штучно створених мов, мов тих чи інших наук, а особливо для мов комп’ютерного програмування. Для природної мови більш притаманні міркування в формі умовиводів. Умовиводом називають форму мислення, за допомогою якої з одного або кількох суджень виводиться нове судження.

Наприклад:

Всі студенти мають закінчену середню освіту

Іванов – студент

Отже, Іванов має закінчену середню освіту

Вихідні судження умовиводу називають засновками. Нове судження – висновком.

Для того, щоб умовивід дав істинний висновок, повинні виконуватися дві умови:

Перше правило: Засновки мають бути істинними.

Якщо в основі міркування лежали хибні засновки, то як би логічно ми потім не мислили, істинний висновок ми зможемо одержати хіба що цілком випадково. Виключення з цього правила буде складати хіба що безпосередній умовивід на основі відношень між суперечливими судженнями за логічним квадратом. В цьму випадку хибність одного з них дасть нам істинність суперечливого.

Наприклад, цілком коректним буде умовивід:

Неправда, що деякі метали не є електропровіденими

______________________________________________

Всі метали електропровідні

Друге правило полягає в тому, що правила виводу повинні виконуватися.

Візьмемо такі засновки:

Всі риби плавають в воді

Дельфін плаває в воді

___________________

Обидва цих судження є істинними, але з них зовсім не слідує те, що дельфін є рибою, хоча такий висновок і напрошується. Для того, щоб одержати істиний висновок, недостатньо мати істинні засновки. Треба, щоб строго виконувалися правила виводу, а в нашому прикладі деякі з них порушені. Не буде висновку з двох істинних суджень, якщо вони між собою не пов’язані.

Наприклад, судження

Київ – столиця України

і

США – найбагатша країна в світі

Обидва ці судження відповідають дійності, але зробити з них якийсь висновок неможливо, оскільки вони одне з одним ніяк не пов’язані.

Класифікація умовиводів

За складом умовиводи поділяються на прості та складні. Складними називаються умовиводи, які складаються з двох, або більше простих умовиводів і утворюються шляхом перетворення висновку одного умовиводу в засновок наступного. Простими є умовиводи, які включають в себе тільки один висновок.

За характером висновку умовиводи діляться на достовірні та ймовірні (вірогідні). Візьмемо приклад.

Всі громадяни України мають право на працю

Іванов – громадянин України.

_____________________________

Значить, Іванов має право на працю.

Цей висновок, очевидно, достовірний. А от інший приклад:

Для того, щоб вступити до вузу, треба добре навчатися

Учениця N добре навчається

__________________________

Отже, учениця N вступить до вузу

Звичайно, що в даному випадку висновок буде тільки ймовірним, оскільки вступ до вузу за нинішніх умов залежить не тільки від хорошого навчання, а й від багатьох інших обставин.

За характером спрямованості виводу виділяють дедуктивн, індуктивні та традуктивні умовиводи. Дедуктивними називають умовиводи, в яких думка рухається від загального до часткового, від знання про ознаки певного класу предметів до знання про ознаки окремих предметів цього класу.

Всі планети світять відображеним світлом

Марс – планета

_______________

отже, Марс світить відображеним світлом

Індуктивними є умовиводи, в яких ми від знання про властивості окремих предметів класу заключаємо про властивості всього класу предметів.

Місяць легший за Землю

Фобос і Деймос легші за Марс

Супутники Юпітера легші за Юпітер

Супутники Сатурна легші за Сатурн

Супутники Урана легші за Уран

Супутники Нептуна легші за Нептун

Харон легший за Плутон

_________________________

всі супутники легші за свої планети

Умовиводи, в яких ми з засновків якогось певного ступеню загальності одержуємо висновки такого ж ступеню загальності, називають традуктивними. В деяких підручниках поділяють умовиводи за спрямованістю виводу на дедуктивні, індуктивні та умовиводи за аналогією. Насправді це не так. Наприклад, візьмемо такий умовивід:

Іван більший за Петра

Петро більший за Сергія

Іван більший за Сергія.

Цей умовивід не є ні дедуктивним, ні індуктивним. В той же час це не є умовивід за аналогією. Це традуктивний умовивід. А аналогія – це тільки один із видів традуктивних умовиводів.
За кількістю засновків умовиводи ділять на безпосередні та опосередковані. Безпосередніми називають такі умовиводи, в яких висновок робиться з одного засновку. Для цього використовують операції перетворення, обернення та протиставлення предикату. Розрізняють також так звані умовиводи за логічним квадратом.

До опосередкованих належать умовиводи, в яких висновок робиться з двох чи більше засновків. За характером засновків можна виділити умовиводи, засновки яких є простими судженнями, та умовиводи, засновки яких є складними судженнями. Серед умовиводів, засновки яких є простими судженнями, в свою чергу, можна виділити дві групи умовиводів, до одної з яких можна віднести так звані прості категоричні силогізми, а до іншої -- безпосередні умовиводи. У випадку, коли засновки умовиводів – складні судження, їх поділяють на умовні, умовно-категоричні (modus ponens, modus tollens), розділові (ponendo tollens, tollendo ponens), умовно-розділові (проста конструктивна дилеми, складна конструктивна дилема, проста деструктивна дилема, складна деструктивна дилема). Розглянемо деякі види умовиводів детальніше.

Безпосередні умовиводи

Як уже говорилось, безпосередніми називають умовиводи, в яких висновок робиться з одного засновку.

Вичленяють спеціальні логічні операції, за допомогою яких утворюються безпосередні умовиводи. Розглянемо спочатку операцію перетворення. Суть її полягає в тому, що зв'язка вихідного судження змінюється на протилежну і на місце предиката ставиться суперечне йому поняття. Наприклад, для загальностверджувального судження (А) операція перетворення буде виглядати так:

Всі S є Р

____________

Всі S не є не Р

Як видно з прикладу, операція перетворення є не що інше я подвійне заперечення. Загальностверджувальне судження перетворилося в загальнозаперечне з предикатом, протилежним предикату вихідного судження.

В результаті перетворення частковостверджувальних (І) суджень одержуємо частковозаперечні:

Деякі S є Р

_______________________

Деякі S не є не Р

Для загальнозаперечних (Е) операція перетворення дасть такий результат:

Всі S не є Р

_______________

Всі S є не Р

Для частковозаперечних (О):

Деякі S не є Р

____________

Деякі S є не Р

Тепер візьмемо приклади суджень і попробуємо застосувати до них операцію перетворення.

Зальностверджувальне судження (А)

Всі багатії – жадібні люди

________________________

Всі багатії не є не жадібними людьми.

Частковостверджувальне (І):

Деякі студенти – відмінники

____________________________

Деякі студенти не є не відмінниками.

Для того, щоб ефективно застосовувати операцію перетворення, потрібно бачити логічну структуру речення, правильно виділити суб’єкт і предикат судження, яке виражено в цьому реченні, розуміти, яка в ньому використана зв’язка. В приведених вище прикладах все це не викликало труднощів. Але коли ми попробуємо застосувати операцію перетворення до загальнозаперечного судження (Е), то зіткнемося з проблемою. Візьмемо, скажімо, судження:

„Жоден ссавець не дихає зябрами”.

Будь-яка спроба зробити операцію перетворення щодо цього судження, не розібравши його логічну структуру, виявиться невдалою.

Визначимо його складові частини. Слово „жоден” в цьому судженні буде замінником квантора „всі”. Суб’єкт -- „ссавці”. Предикат – „дихати зябрами”. Частка „не” відноситься до зв’язки „є”, яка явно в цьому реченні не виражена.

Отже, логічна структура цього судження така: „Всі ссавці не є такими, хто дихає зябрами”. Застосувавши операцію перетворення до цього судження, одержимо „Всі ссавці є такими, хто не дихає зябрами”. Якщо ми приведемо одержане судження назад до граматичної форми, то вийде речення:

„Всі ссавці не дихають зябрами”, або що теж саме

„Жоден ссавець не дихає зябрами”.

На перший погляд це речення нічим не відрізняється від початкового. Складається враження, що операція перетворення ніяк не позначилася на вихідному реченні. Насправді, логічно ці судження є протилежними. Перше судження є загальнозаперечним, кінцеве – загальностврджувальним. Частка „не” відноситься в ньому не до зв’язки, а до предиката. Просто, в умовах, коли зв’язка опускається, це неможливо помітити, не розібравши логічної структури речення. Все це стосується і частковозаперечних суджень.

Перейдемо до операції обернення. Загальностверджувальне судження в більшості випадків при оберненні дає частковостверджувальне. Суб’єкт і предикат при цій операції міняються місцями. Квантор „всі” змінюється на „деякі”.

всі S є Р

__________

деякі Р є S

Зміна квантора пов’язана з тим, що предикат в загальностверджувальному судженні не завжди буде розподіленим. Згадайте схему загальностверджувального судження:

З неї видно, що ми не можемо сказати, що „всі S є Р”. Таке можливо тільки в тих випадках, коли суб’єкт і предикат в загальностверджувальному судженні перебувають в відношенні тотожності.
Частковостверджувальні судження обертаються в частковостверджувальні:

Деякі S є Р

___________

Деякі Р є S

Хоча в випадках, коли предикат в частковостверджувальнихї судженнях розподілений,
можна говорити, що „всі Р є S”.

Обернення загальнозаперечних суджень не приводить до зміни квантора в будь-якому випадку, оскільки для них існує всього один варіант розподілення термінів:

звідси, обернення для загальнозаперечних суджень:

Всі S не є Р

__________

Всі Р не є S

Частковозаперечні судження не підлягають операції обернення, оскільки в частнині випадків така операція приводить до абсурду. Наприклад, візьмемо частковозаперечне судження „Деякі дерева не є хвойними деревами”. Спроба застосування до нього операції обернення дала би повну нісенітницю. Вийшло би, що „деякі хвойні дерева не є деревами”.

Тепер розглянемо операцію протиставлення предикату. Логічний зміст операції проститавлення предикату полягає в тому, що вона являє собою дві послідовно проведені операції: спочатку проводиться операція перетвореня, а потім до того судження, що вийшло – операція обернення. Наприклад, щодо загальностверджувальних суджень це виглядало б так:

Всі S є Р

__________

Всі S не є не Р

_______________

Всі не Р не є S

Технічно цю операцію можна представити так:

На місце суб’єкта ставиться поняття, протилежне предикату вихідного судження, зв’язка змінюється на протилежну, і на місце предиката ставиться суб’єкт початкового судження.

В загальнозаперечних судженнях при цьому квантор „всі” буде змінюватися на „деякі”. Це зумовлено тим, що при перетворенні загальнозаперчні судження трансформуються в загальностверджувальні, а зальностверджувальні при оберненні стають, як ми недавно розглядали, частковостверджувальними.

Всі S не є Р

_________

Деякі не Р є S

Частковозаперечні судження при протиставленні предикату дають частковостверджувальні:

Деякі S не є Р

_____________

Деякі не Р є S

Частковостверджувальні судження не протиставляються предикату. Адже при перетворенні вони дають частковозаперечні судження, а вони, як відомо, не обертаються.
Існує також операція протиставлення суб’єкту. Вона полягає в тому, що судження спочатку обертається, а потім перетворюється. Наприклад, візьмемо судження

Деякі діти – бездомні

Операція обернення дасть судження

Деякі бездомні – діти

Перетворення одержаного судження дасть результат:

Деякі бездомні не є не дітьми.

Формально операція протиставлення суб’єкту зводиться до того, що на місце суб’єкта ставиться предикат вихідного судження, а предикатом стає поняття, суперечне суб’єкту початкового судження.

Всі S є Р

_____________

Деякі Р не є не S

Всі S не є Р

___________

Всі Р не є не S

Деякі S є Р

___________

Деякі Р не є не S

Частковозаперечні судження не протиставляються суб’єкту.

Візьмемо приклад судження і попробуємо застосувати до нього всі відомі нам операції:

„Всі громадяни України мають право на працю”.

Спочатку перетворення:

Всі громадяни України не є такими, хто не має права на працю.

Операція обернення дасть судження

„Деякі з тих, хто має право на працю, є громадянами України”.

Протиставлення предикату:

Жоден з тих, хто не має права на працю, не є громадянином України.

Протиставлення суб’єкту:

Деякі з тих, хто має право на працю, не є не громадянами України.

Умовні та розділові умовиводи.

Умовні умовиводи можна поділити на власне умовні, умовно категоричні та умовно-розділові умовиводи.

Власне умовними умовиводами називають такі силогізми, засновками і висновками яких є умовні судження.

В основі власне умовних умовиводів лежить та ж закономірність, яка зумовлює аксіому простого категоричного силогізму, але в даному випадку вона стосується не понять, а суджень: причина причини є причиною всіх її наслідків.

AB

В С

С D

_______

А D

Наприклад.

Якщо ця тварина вигодовує дитинчат молоком, то вона ссавець

Якщо ця тварина ссавець, то вона дихає легенями

Якщо ця тварина дихає легенями, то вона не може бути під водою дуже довго

Якщо ця тварина вигодовує дитинчат молоком, то вона не може знаходитися під водою дуже довго.

До умовно категоричних відносять умовиводи, перший засновок яких є умовним судженням, а другий засновок і висновок – простими категоричними судженнями.
В умовно розділових умовиводах перший засновок буде складатися з двох або більше умовних суджень, а другий засновок і висновок будуть розділовими судженями.
В умовно-категоричних та умовно-розділових умовиводів спільним є те, що ствердження в них йде від основи до наслідку, а заперечення від заперечення наслідків до заперечення основи. Ствердження від наслідку до основи, точно так же, як і заперечення від основи до наслідку не дає достовірних висновків. Це пов'язано з тим, що один і той же наслідок може бути викликаний різними причинами. Наприклад, асфальт може бути мокрий не тільки тому, що йде дощ, а ще й тому, що його полили, чи розтанув сніг. Тому висновок із засновків

Якщо йде дощ, то асфальт мокрий

Йде дощ

отже, асфальт мокрий

AB

А

________

В

правильний.

Але висновок від ствердження наслідку до ствердження основи:

Якщо йде дощ, то асфальт мокрий

Асфальт мокрий

______________

отже, йде дощ

буде неправильний. Адже асфальт може бути мокрий зовсім з інших причин, наприклад, тому, що розтав сніг.

Достовірний виснок через заперечення в умовно-категоричних та умовно-розділових судженнях можливий тільки тоді, коли заперечення буде відбуватися від заперечення наслідку до заперечення основи. Це теж пов’язано з тим, що один і той же наслідок може викликатися різними причинами. Тому, коли причина є, то наслідок теж буде. Але наявність наслідку ще не означатиме, що він викликаний саме тою причиною, а не інакшою. Відповідно, якщо нема цієї причини, то це ще не значить, що не буде наслідку. Він може бути викликаний якоюсь іншою причиною. Але якщо немає наслідку, то це значить, що не було ніякої причини, в тому числі тої, яка нас цікавить.
Цей модус умовно-категоричного силогізму називається modus ponens і він завжди дає достовірні висновки.

Але неправильним, точніше, недостовірним буде модус:

AB

В

________

А

Правильний заперечний модус умовно-категшоричного силогізму, який називаєься, виглядає так:

AB

¬В

_____________

¬А

Неправильний modus tollens, який не дає достовірних висновків, має трохи інший вигляд:

AB

¬А

________

¬В

Тепер розглянемо умовно-розділові силогізми.
Умовно розділові силогізми, другий засновок яких та висновок мають по дві альтернативи, називають дилемами. Коли альтернатив буде по три, то це будуть трилеми, чотири – квадрилеми і т.д. Для зручності розглянемо властивості умовно-розділових силогізмів на прикладі дилем. В залежності від того, шляхом ствердженя чи заперечення ми одержуємо висновки в дилемах, вони поділяються на конструктивні та деструктивні. Якщо ми із ствердження двох основ (або заперечення двох наслідків) одержуємо два різні наслідки (заперечення двох основ), то такі дилеми називають складними, якщо ж один наслідок, чи заперечення одної основи – простою.

Схема складної конструктивної дилеми така:

AB; СD

AνC

________

BνD

Неважко помітити, що складна конструктивна дилема – це не що інше, як подвоєний modus ponens. Як і в стрверджуючому умовно-категоричному силогізмі ми будемо міркувати тут від ствердження основи до ствердження висновку. Відповідно, наявність висновку тут теж не буде означати, що він викликаний саме цією причиною, а не якоюсь іншою. Тобто дилема

AB; СD

BνD

_________

не дала би ніякого достовірного висновку.

Складна деструктивна дилема будується від заперечення висновків до заперечення причин, точно так же, як це відбувається в modus tollens.

AB; СD

¬Вν¬D

__________

¬Аν¬С

Знову ж таки, не можна йти від заперечення основи до заперечення висновку

AB; СD

¬Аν¬С

__________

Ніякого висновку з таких засновків не буде, оскільки відсутність саме цих причин ще не означає, що ці наслідки не можуть бути викликані іншими причинами.

Проста конструктивна дилема відрізняється від складної тим, що тут з двох різних основ робиться один висновок. Можливі два модуси постої конструктивної дилеми:

AB; СВ

АνС

________

В

Інший модус простої конструктивної дилеми буде грунтуватися на властивостях умовного силогізму. Якщо наслідок одного умовного судження стає основою іншого, то висновок наступного судження витікає з основи першого:

AB

ВС

______

AС

Відповідно вийде ще один модус простої конструктивної дилеми:

AВ; ВС

АνВ

__________

С

Проста деструктивна дилема теж буде мати два модуси.

AВ; ВС

¬Вν¬С

_________

¬А

AВ; АС

¬Вν¬С

________

¬А

Ще один клас умовиводів, засновками яких є складні судження є суто розділові умовиводи. До таких належать стверджувально заперечні, інакше їх називають ponendo tollens і заперечно-стверджувальні (tollendo ponens).

Схема ponendo tollens така:

АνВνС

АνВ

__________

С

Тollendo ponens виглядає так:

АνВνС

Вν¬С

_________

¬А

Умовою істинності розділових силогізмів є насамперед те, що в першому засновку мають бути взяті до уваги всі можливі альтернативи, а також те, що диз'юнкція, яка в них застосовується, мусить бути строгою.

Зміст